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小学生の時、担任の先生に連れられて牧野富太郎博士の自宅を訪ねたことがありました。その時、牧野博士のお嬢さんから見せてもらった博士の描いた植物画の精緻せいちさに息をのんだことを覚えています。博士は植物学者として一流であったと同時に、自然の姿を鋭い観察眼をもって描画することのできる天才だったと思います。

自然のなかには、熟練した職人が技巧を凝らして描いた作品ではないかと思うような、複雑で美しい模様があります。例えば雪の結晶、シダの葉（図1）、波しぶき、フィヨルドやリアス式の海岸線、モクモクとした入道雲などなど。これらはフラクタル図形と呼ばれる図形で、その特徴は全体がそれ自身の縮小コピーで構成されている、すなわち自己相似形になっていることです。

図１．フラクタル図形

見る人の視線を数学的に誘導した葛飾北斎

波といえば、葛飾北斎の「富嶽三十六景」の「神奈川沖浪裏」の絵を思い出します。この絵に描かれている大波、中波、小波はフラクタル的な雰囲気を感じさせます。北斎の絵の随所に数学的考察の跡をうかがい知ることができます。

美術評論家の中村英樹氏による（『新・北斎万華鏡』）と、この絵は「最初に、紙に2本の対角線を引く。次に紙の左下隅の点を中心とし、紙の縦の長さを半径とする4分の1の円弧を描く。このとき、富士山の頂上が右下がりの対角線と円弧の交点になっている。……」などといった具合に、構図を幾何学的に構築して描かれた作品だそうです（図2）。その結果「小舟を漕ぐ人たちが大波に飲まれてしまうのではないかとハラハラしながら大波の行く方を追って行くと、後方に小さく描かれた富士山頂が自然にあなたの視線に飛び込んでくる」という、まさに天才的手法が施されていると、中村氏は指摘しています。

図2．「富嶽三十六景　神奈川沖浪裏」

鑑賞者の視線を数学的に誘導するという天才技を持つ北斎は、日本よりむしろ海外で評価が高いようです。例えば1999年にアメリカの雑誌『LIFE』のアンケート「この1000年間で最も重要な業績を残した世界の人物100人」のなかに、唯一ランクインした日本人は北斎だったのです。

幾何学的に絵を描いたダ・ヴィンチ

西洋で数学と芸術が融合したのはルネサンスの時代でした。絵画の歴史を見ると、大雑把にいってルネサンスの前と後では、絵を見た時の感じが大きく違っています。

それは、ルネサンス期に入って絵画に遠近法が導入されたからです。それ以前の絵画は遠近法が導入されていませんでした。遠近法は、人間がものを見る時に、遠くにあるものほど小さく見えるので、見えている姿そのままに描くという画法です。すなわち、2次元のキャンパスに描いたものが自然に3次元的に見えるようにする、いわばイリュージョン的手法です。

図3．遠近法による作図の仕方

どのようにするかというと、まず紙に目の高さを示す水平線を描き、さらにその水平線上の任意のところに「消失点」を取ります。消失点とは、空間の中の目線に平行な二本の線が遠くに行くほど近付いていくように見え、ついに交差する点のこと。そして、実際の風景では目線と平行な関係にあって交わるはずのない線分を、全て消失点で交わるように描きます。そうすることで絵に奥行きが出てくるのです。例えば、図3のような並木道を描くとしましょう。まず、水平線と消失点を画面上に取り、次に道路の両脇の平行線が消失点で交わるように描きます。

遠近法を幾何学的に精密に探求した1人が、レオナルド・ダ・ヴィンチです。例えばダ・ヴィンチの作品「最後の晩餐」の絵の中では、実際には交わることがないはずの天井、壁、床の平行な直線が、キリストの頭の辺りで1点（消失点）に集まるように描かれています。

図4．消失点・平行線の入った「最後の晩餐」

「科学なしに（建築や絵画などといった）実践にふける者は、舵や羅針盤なしで船を操ろうとする船乗りのようなものだ」とダ・ヴィンチは述べています。数学こそが科学の根底を支えていると考えていた彼は、絵画の画法や建築などの美的作業の基礎に数学を据えました。そして「学生たちよ、まず数学を学びなさい」と、建築や絵画を志す若者にアドバイスしていたそうです。

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バーコードの読み取りミスを知らせてくれる数字

今回は、間違い（ミス）に適切に対処する知恵についてお話ししましょう。

おなじみのバーコードは、13桁の数で「国」「メーカー」「商品」などを表しています。バーコードには、読み取りミスが起きると自動的にミスを知らせてくれる「チェックディジット」と呼ばれる数字が末尾に付いています。

チェックディジットは、（左から奇数桁目の数の和）＋3×（左から偶数桁目の数の和）が、10の倍数になるように値が定められています。図1だと、23＋3×29＝110となり、確かに10の倍数になっています。バーコードは読み取りミスを知らせてくれるだけでなく、在庫管理などの大切な情報を全て登録してくれます。

図１

バーコードはミスを知らせてくれますが、ミスの修正まではしてくれません。ところが、ミスを自動的に見つけて修正してくれる超便利な理論（誤り訂正符号）が研究され、現在は随所で実用化されています。最初に考えたのは、米国のAT＆Tベル研究所のハミング博士です。1950年頃、当時のコンピューターを使って計算処理を行っている時、たびたびコンピューターがデータを読み間違えるせいで何日かかっても計算処理が終わらないことがあり、業を煮やすことがしょっちゅうだったといいます。そんな時「データの誤りを自動的に修正できるシステムがあれば便利になるだろうなぁ」と思ったことが、この分野の誕生のきっかけになったのです。

その後、衛星からのデジタル信号の誤読を防ぐという事業目的のため、1950年代から主に米国で活発に研究され、1970年代にはCDや衛星放送、GPSなど我々の身近なところでも実用化されるようになりました。以下に誤り訂正符号を応用したマジックを紹介しましょう。

うそ当てマジック

相手がうそをついても、相手の選んだ数を当てるマジックを紹介します。

カードが7枚あり、No.1〜No.4を情報カード、No.5〜No.7を検査カードと呼びます。No.5〜No.7の検査カードは相手がどのカードでうそをついたかを当てるための〝うそ発見器〞的な役割をします。

あなたがマジシャンになり、相手にはあなたにわからないように1〜15までの数を一つ選んでもらいます。

次に、図2のNo.1〜7のカードを相手に順番に見せて、それぞれのカードに相手が選んだ数が含まれているかどうかを「YES」か「NO」で答えてもらいます。ただし答えてもらう時に、相手に1回だけうそ（間違い）をついてもらうことにします。

図２

例えば、相手が11という数を選んだ場合を例に取って、うその見破り方と相手の選んだ数の当て方を解説しましょう。相手が1回だけうそをついて、次のように答えたとしましょう。

Card No.1にはある（本当）、Card No.2にはない（本当）、Card No.3にはない（うそ）、Card No.4にはある（本当）、Card No.5にはない（本当）、Card No.6にはある（本当）、Card No.7にはない（本当）

マジシャンのあなたは、相手が「ある」と答えたカードを全てピックアップし（今の例では、No.1とNo.4とNo.6のカード）、それらのカードの下に書かれているA、B、Cそれぞれの出現回数を数えます。すると、A、B、Cはおのおの2、3、1回となります。

A、B、Cの中で、出現回数が奇数のアルファベットを全てピックアップします。この場合はBとCです。

カードNo.1〜No.7の中で、Step2でピックアップされたアルファベットの組み合わせが書かれているカードを探します。今の例では、BとCなので、B、Cが書かれているカードはNo.3です。そのカードで相手はうそをついたのです。すなわち、カードNo.3には、相手が選んだ数が入っているのです。よって、相手の選んだ数はカードNo.1、No.3、No.4、No.6のいずれにも含まれています。

相手の選んだ数が書かれた全てのカードの中から、検査カードは無視して、情報カードNo.1〜No.4に該当するものだけをピックアップします。この例では、カードNo.1、No.3、No.4の3枚です。
それらのカードの左上の数を足し算した数が、相手が選んだ数です。すなわち、8＋2＋1＝11となります。かくして、うそはバレてしまうのです！

己の過去の恥ずかしい過ちを全て消し去って、まともな人生に修正してくれる理論ができることを願っています。

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多くの分野に応用される折り紙の幾何学的センス

2023年5月、広島で行われたサミットは各国の首脳たちに原爆の非業を実感してもらう絶好の機会となりました。米国の現職大統領で広島を訪れたのはバラク・オバマ氏が初めてだったので、とても印象に残っています。特に、彼が自分で折った折り鶴を、地元広島の2人の子どもたちに手渡したシーンは感慨深いものがありました。

言うまでもなく、折り紙は日本の伝統文化の一つです。複雑な形をした動物を、いとも簡単に折る日本人を見て、大抵の外国人はその幾何学的なセンスに驚嘆するそうです。長い間、折り紙は遊びの範疇はんちゅうとみられていましたが、最近になって実生活にもいろいろな応用があることが知られ、世界中で盛んに研究されています。

例えば「パラシュートをどのように折り畳んでおけば、落下途中で絡まないか」「車内に搭載されている命を守るためのエアバッグの畳み方」「回収に便利な折り畳み式のペットボトルの設計」「薬を包んだオブラートが、患者の患部に届いた時にスムーズに開いて薬を投下し、その直後に排出されやすい形に畳まれる設計」「山岳地図を頼りに登山している最中、急に雨が降っても即座に折り畳める地図」「宇宙ロケットの開閉自在な太陽光電池パネル」など、枚挙にいとまがありません。このように工学、建築学、医学などにたくさん応用される折り紙は幾何学的に研究しがいのある分野です。

1度の切断で星型を切り抜けるか？

さて、皆さんにも折り方の妙味を堪能していただきましょう。

コピー紙に星型の絵が描かれています（図1）。その紙を何度か折り、裁断機（またはハサミ）でたった1度の切断で、その星型を紙からスッポリと切り出すことができるでしょうか？　図2のように折れば、裁断機で1度ガチャンと切るだけで所望の星型をスッポリ切り出すことができます。

図１

図２．一刀斬り

こういったタイプの問題は、日本でも江戸時代から楽しまれ、多くの書物、例えば『和わ国こく智ち恵え較くらべ』でも「一いっ刀とう斬ぎりの問題」として紹介されています。

この事実を拡張して、マサチューセッツ工科大学（MIT）のエリック・ドメイン教授は次の定理を証明しました。

どんな多角形でも可能な一刀斬りの定理

「紙に勝手な形をした多角形（どんな複雑な形でもよい）が描かれているとする。この時、その紙を何度か折り、それを裁断機でたった1回切断するだけで、その多角形を紙からスッポリと切り出すことができる」

この定理のすごいところは、千差万別、無数にある「どんな多角形（線分で囲まれた図形ならへこんでいても可）」でも一刀斬りが可能であることを証明した点です。

先ほど紹介した地図の畳み方で顕著なものに〝ミウラ折り〞があります。〝ミウラ折り〞の名前はこの折り方の考案者である三浦公亮博士にちなんで付けられました。図3はその折り方を示しています。実際に皆さんも折ってみて、紙の対角線の両隅を引っ張ったり、縮めたりするだけで、地図が開いたり閉じたりする様子を確認してみてください。

図３．ミウラ折り

幾何学の最先端の未解決問題を紹介して終わりにしましょう。

図４．5種類の正多面体

図4は5種類の正多面体の図です。そのおのおのの展開図を折り直して、四面体に折ることができるという予想を著者は7、8年前に立てました。正十二面体以外に対しては、この予想が正しいことが証明されました（図5）。（もっとも正四面体は、はじめから四面体だからこの予想が成り立つことは当たり前です）

図５．立方体、正八面体、正二十面体の展開図とそれを折ってできる四面体

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数学メガネをかけて不思議を発見！

この連載のタイトルは「数学メガネで周りを見れば。」ですが、それには「数学メガネで周りを観察すれば、今まで気付かなかったことに気付いたり、日常の作業が能率的になったり、時には重大な新発見につながることもある」ことを、連載を通じて読者の皆さんに伝えたいという思いを込めています。

新型コロナウイルス感染症が流行する前、あるイベントで「数学の大切さや面白さを伝える講演」を依頼されました。イベントの担当者から講演タイトルを聞かれたので、使い慣れている「数学メガネで周りを見てみると」にしました。すると何日かして、担当者から「数学メガネをいろいろ探したのですが、どこにも売っていませんでした。どこで購入できるのでしょうか？」と問い合わせがきました。生真面目な担当者には、私の比喩が通じなかったようです。トホホ。

数学メガネをかけると、不思議なことにつながる発見ができる例を紹介しましょう。

【缶の詰め込み問題】

横5センチメートル、縦8センチメートルの木箱の中には直径1センチメートルの缶が40個入っています（図1）。

さて、もう1個余計に缶を詰め込むことができるでしょうか？

多くの人は「ギッシリ詰まっているので、もうこれ以上は無理だ」と思うでしょう。しかし実は、もう1個詰め込むことができるのです（図2）。

図1では円の中心が正方形状に並ぶ配置をしています。一方、図2では円の中心が正三角形状に並ぶ配置になっています。図2のように、1個の円の周りに6個の円が囲む配置が最密であることが知られているのです。

図１．40個

図２．41個

筆者は禁煙して久しいので、最近はたばこのパッケージは見ていませんが、かつては毎日パッケージの中のたばこの配置を見ていました。20本のたばこは7本、6本、7本と3列になって詰め込まれ、たばこの中心点は正三角形状に並び、確かに最密な配列になっていました（図3）。

図３

工事現場に置かれているパイプや丸太も、自然と正三角形状の配置になるのです。

通信分野で応用される詰め込み問題

この問題を3次元（空間）に拡張すると、「同じ大きさの球を詰め込むための最密な配置は、何か？」という問題になります。この問題について、ドイツの天文学者ケプラーは、1611年に発行された冊子に「どの球の周りにも12個の球が囲む配置で空間を埋め尽くした場合が答えだ」と、証明を書かずに記述しました。ケプラーはザクロの種子の観察によってこのヒントを得たそうです。

ザクロの実の中にたくさん入っている種子は、球形をした小さい種子が大きくなるにつれ、互いに押し合いへし合いを始めます。その結果、最密な状態をつくり、1個の種が12個に囲まれる配置になったというのです。

すなわち図4の右のように、1個の球の周りを6個の球が取り囲み、赤点のところに上から3個を置き、黒点のところに下から3個を置くと、上下から3カ所のくぼみに球が入り込むことになります。すると、3段にわたって合計12個の球が真ん中の1個に接する配置になります（図4左）。

図４

〝限られた空間にできるだけたくさんのものを詰め込む〞という最密充填じゅうてん問題の応用は各分野で研究されています。

特に、通信分野では顕著です。2つ以上の信号（これを点で表します）が近くにあると、読み間違いをしてしまうことがあります。そこで、信号の誤読率を低く抑えるために信号の間隔を空けなければなりません。例えば、信号同士の間隔が最低1センチメートル必要としましょう。すると〝1辺1メートルの立方体にできるだけ多くの点を、どの2点間の距離も1センチメートル以上離して配置する〞問題になります。すなわち〝この立方体に直径1センチメートルの球をなるべく多く詰め込む〞という問題に置き換えられます。

現在は3次元どころか、もっと高い次元において球の詰め込み問題が研究され、通信工業の分野で著しい成果が上げられているのです。

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手掛かりから理詰めで問題を解く

このところ腰痛で外に出るのがおっくうになり、チャンスとばかりに録りためていた『刑事コロンボ』を退屈しのぎに家で見ていました。サスペンスの多くは犯人が誰だかわからないままストーリーが展開され、容疑者、証拠、動機、真犯人は、作家や脚本家の思いのままに話が進められます。要するに、最終的に誰が犯人になっても良い構成になっているのです。それに対し『刑事コロンボ』シリーズは、最初に殺人のシーンを視聴者に見せるので、動かしようのない真実が視聴者にも突き付けられてしまいます。だから、作家は都合良くストーリーを展開することはできません。従ってコロンボ刑事（と視聴者）は、殺人現場に残された手掛かりから理詰めで犯人を追い詰めていくことになります。

これは誠に、数学の問題を解く時の手法に似ています。もしコロンボ刑事が数学を仕事にしていたら、素晴らしい業績を上げていたことでしょう。このシリーズのもう一つの魅力は、容疑者の肩書が政治家、弁護士、作家、建築家、音楽家、医師、科学者など多彩で、その道のプロばかりなので、彼らのすむ独特の世界を垣間見せてくれることです。「殺しの序曲」という回では、高IQ集団の社交クラブが舞台でした。コロンボ刑事は犯人とおぼしき者から、次のような有名なパズルを出題されました。

【ニセ金貨問題】

ここに金貨が入った袋が10袋ある（図1）。各袋には10枚以上の同一の金貨が入っている。そのなかの一つの袋だけにはニセ金貨だけが入っている。本物の金貨は1枚10グラムだが、ニセ金貨はそれより1グラムだけ軽い9グラムである。はかりを1回だけ使って、ニセ金貨の入っている袋を特定せよ。

図１

「1対1対応」で鮮やかにニセ金貨問題が解ける

この問題を解く鍵は「1対1対応」という概念を巧妙に利用することです。例えば、ネット販売では商品名を入力しなくても、商品番号をクリックすれば所望の商品が届きます。これは扱う全ての商品と商品番号（数）との間に1対1の対応を付けることで、番号だけで商品を識別できるからです。

何かと何かの間に、1対1対応を付けて首尾良く解ける典型的問題に、甲子園の高校野球大会の総試合数を数える問題があります。例えば、全出場校を50校としてトーナメント（勝ち抜き戦）を行った場合、優勝校が決まるまで合計何試合するかという問題です。ただし引き分け再試合はないものとし、シード校がいくつあっても構いません。この問題では、1試合行うごとに1校が敗退することに注目しましょう。すなわち「一つの試合」と「敗退する一つの学校」の間に1対1対応を付けるのです。すると優勝校が決まるまで50－1＝49校が敗退するので、総試合数は合計49回となります。

もう一つ、1対1対応を付けると首尾良く解ける問題を紹介しましょう。3×4＝12個の錠剤が入ったシートがあります。このシートには縦、横にそれぞれ3本、2本の溝（切り分け線、図2の点線）が入っています。錠剤シートを縦や横の溝に沿ってパキッと折り、12個の錠剤を1個ずつバラバラにしたい。さて、このシートを何回パキッと折れば12個バラバラになるでしょうか？ ただし、シートを重ねて折るのは禁止とします。「溝（点線）に沿って折る」ことと「シートの断片が1個増える」ことの間に1対1対応を付けます。すると、最初は1個（3×4シート自身）だった断片が最終的に12個の断片になるので、どのように折ろうとも、バラバラにするまで12－1＝11回折らなければならないことがわかります。

図２

さあ皆さん、1対1対応の使い方に慣れたところで、コロンボ刑事が挑戦した「ニセ金貨問題」を鮮やかに解いてみましょう。

10個の袋それぞれに1、2、…、10の番号を付ける。次に、1の袋から1枚の金貨を取り出し、2の袋から2枚の金貨を取り出し、…、10の袋から10枚の金貨を取り出し、合計1＋2＋…＋10＝55枚の金貨をはかりに載せます（図1）。全部本物の金貨なら550グラムのはずです。はかりで量った重さが550グラムより1グラム軽ければ（すなわち、549グラムならば）、袋1がニセ金貨袋であり、2グラム軽ければ袋2がニセ金貨袋であり、…、10グラム軽ければ袋10がニセ金貨袋ということになります。

一件落着、コロンボ刑事の高いIQに驚いたところ、この問題を解いたのが実は彼のカミさんだと明かしていました。私は、カミさんを一度見たいのですが、まだお目にかかれず残念です。

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自然が生み出す美しいカタチ

昔、ソーセージのテレビCMで「美味なるものには音がある！」というキャッチコピーがありましたが、覚えていますか？　お湯の中でソーセージをゆでた後、ソーセージをかむと「パリッ」と音がして、その音と同時に先ほどのキャッチコピーが流されました。

今回は「美しいカタチには、それなりの理ワ由ケがある」、すなわち、形のなかで、なるほどと思える理由があるものを紹介しましょう。

ハスの葉の上の水滴は球状をしていますが、これは水滴の表面を最小にしたいという表面張力が働くことに起因しています。一定の体積を持つ立体のなかで表面積が最小になるものは球であり、ガスタンク、水道タンク、石油タンクなどに球形が多いのも同じ理由です。つまり、タンクを造る鉄などの材料を一定量にした時、貯蔵容量を最大にできる形が球なのです。

蜂の巣を切断すると、切断面に六角形が隙間なく並んでいます。これは親蜂が巣を作る時、体内から出せるミツロウの量で蜂の子が入る巣房の面積を最大にかつ隙間なく集合体を作ろうとすると、巣房は三角形でも四角形でもなく、正六角形になるからです。

ひと昔前、給食で出される牛乳パックの形はテトラパック^Ⓡとか、三角パックと呼ばれる少しへこんだ四面体でした。正四面体をどんなにうまく詰め込んでも、隙間なく詰め込むことはできません。一方、テトラパック^Ⓡと呼ばれる四面体は空間に隙間なく詰め込めるので、運搬したり、冷蔵庫に貯蔵したりする時に便利だったのです。しかし、自動販売機で牛乳パックが販売されることになった後、しばらくしてテトラパック^Ⓡはこの世からほとんど消えてしまいました。四面体にある4つのとがった頂点（角）が、販売機の中で落下する時に管に引っかかり、しばしば故障の原因になったからです。現在はほとんどが直方体の形をしたパックになっています。

生活を便利にする美しいカタチ

道路にあるマンホールのふたには、正方形のものもたまにありますが、円形が圧倒的に多いことに気付いていましたか？　これには「ふたが円形なら、どの位置にズレても決して落下しない」という安全上の秘密が隠されています。

与えられた図形をノギスで挟み込んで測った幅を「差し渡し幅」といいます。例えば、楕だ円えんを縦方向で測った時と横方向で測った時とでは、差し渡し幅aとbは異なります（図1）。

図1

どの方向から測っても、差し渡し幅がいつも同じ図形を「定幅図形」といいます。円は定幅図形なので、マンホールのふたを円にすれば、ふたがズレても落下することはありません。自動販売機に投入するコインが途中で引っかからないようにするためにも、それが定幅図形になっていることが大切です。定幅図形の仲間には円以外にも正三角形、正五角形の辺を円弧に置き換えてできるルーローの三角形、ルーローの五角形…などがあります（図2）。

図2．ルーローの三角形とルーローの五角形

さらに、刃の形が定幅図形の回転ドリルによって、正方形の穴、正六角形の穴を開けられるというのは驚きです（図3）。実際にアメリカで特許が取られています。

図3．回転ドリルと正方形と正六角形の穴

もうお気付きの方も多いと思いますが、定幅図形は車のエンジンにもロータリーエンジンとして応用されています（図4）。ロータリーエンジンの内部では、内側の壁がトロコイド曲線（任意の曲線上を円板が滑らずに転がるときに円に固定された1点が描く軌跡）と呼ばれる繭型をし、その中でルーローの三角形の形をしたローターが回転します。その際、ルーローの三角形はトロコイド曲線に常に3点で接しながら回転できるという幾何学的な性質があります。そのような3接点により、繭型の内部は①燃料ガスの吸気室、②ガスの圧縮室および爆発室、③爆発後のガスの排気室の3つの部屋に分けることができます。ローターが1回転する間に、吸気室でエンジン内部に送り込まれたガスはローターの回転に伴って2番目の圧縮室に送られ点火され爆発し（動力化され）、さらなるローターの回転に伴い燃焼後のガスが排気室に送られエンジン外部に排出されるというサイクルをスムーズにたどることができるのです。

図4．ロータリーエンジン

生活で変わった形に出会ったり、その形の特性を分析したりするとそれなりの理由がわかるかもしれません。

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スープの味見と統計学の神髄

視聴率改ざん事件が勃発し、それが社会問題になっていた2003年頃、立川志の輔師匠の落語会の枕に、なんと筆者が登場したことがあります。

そのくだりは「『視聴率なんてもんは、数千万世帯のうちのたった千世帯ぐらいしか調査していないんだから、あんまり当てになりませんよね。こんな数字に一喜一憂することはないんじゃないですか』ってなことを、テレビ局の楽屋で仲間たちと話してたら、突然、秋山仁が現れた。そして、こう言うんですよ。『そんなことはない。視聴率ってどういうものかってことを簡単に言うと、ホテルのコックさんがスープを味見する時、大鍋の中のスープを全部飲んで苦いとか薄いとか、調べるわけじゃないでしょう？　コックさんは大鍋の中のスープをかき混ぜた後、スプーンたった一杯を試飲するだけで、全体の味を十分チェックできるでしょ。いくら心配性なコックさんだって、大鍋一杯飲み干して味見しているなんて聞いたことないよね。だって、全部飲んじゃったら客に出すスープがなくなっちゃうじゃない。これと視聴率の原理は同じなんだ』とさ」。

すると、聴衆は視聴率が大変信頼性の高いものだと合点したようで、客席がどっと沸きました。

デジタル社会になって、とみに脚光を浴びているデータ・サイエンスの基礎となる統計学の神髄を、前述の例えは言い得ているでしょう。この方法に、少しヒネリを加えると、次のような面白い調査も可能になります。

個人情報に配慮した動向調査の方法

どの人にも、他人にはあまり知られたくないことがあります。人によっては支持政党とか、年収や資産、既婚か未婚かなど、あまり大っぴらにしたくないことの例は枚挙にいとまがありません。

例えば、テレビスタジオにいる50人のゲストのなかのどのくらいの人たちが保守、または革新政党を支持しているかを挙手によって調査したいとしましょう。司会者が「保守政党を支持する人は手を挙げてください」とそのまま質問したのでは視聴者にバレバレです。このような時、同じ質問でも確率を用いて、プライバシーを守りながら大ざっぱな動向を把握できる便利な方法があります。それを紹介しましょう。

司会者は一人ずつに10円玉１枚を配ります。そして、各人に手のひらの中で10円玉を振ってもらい、次のルールに従って挙手するか否かを決めてもらいます。

【ルール】
（1）10円玉を振って表面（平等院の絵のある面）が出た人は、無条件に挙手する。
（2）裏面（10と書いてある面）が出た人は、保守支持なら挙手し、革新支持なら挙手しない。

この方法に基づいて調査した時、挙手した人が例えば40人だったとしましょう。すると、おおむね60%の人が保守政党支持ということになります。その理由は、10円玉を振って裏面が出る確率は２分の１だから、50人中の25人が表面を出し、25人が裏面を出すことになります。挙手した40人の内訳を考えると、25人は表面が出たので自動的に手を挙げた人です。

一方、挙手した残りの15（40マイナス25）人は、裏面が出たにもかかわらず挙手した人たちです。すなわち、25人中の15人が保守支持ということになります。よって、保守支持率は、およそ25分の15で0.6になるので60%と推定できるというわけです。

50人がコインを振って裏面が出るのは確率的には２分の１ですが、実際には多少のバラツキが考えられるので、この結果はあくまで概算であり正確ではありませんが、プライバシーを守り、かつ簡単に大まかな動向を調査できるのでとても便利です。

このアイデアを基に、個人情報が他人に知られないように配慮した電子投票システムが現在、活発に研究されています。

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久しぶりに玉のよく出るパチンコ台に巡り合った時、どの段階でプレイをやめるかを判断するのは意外と難しいものです。大当たりして、デカ箱何箱分も玉が出ているのだから、このまま続けていたほうがいいだろうと続けていたら少しずつ出なくなって、結局空になってしまった苦い経験をしたことがある人も多いのではないでしょうか。

株や為替も売り時、買い時を見定めるのはプロにとってもなかなか難しいのです。

このように、投資や賭け事を行う時、数学的に見て、最高なやめ時を考える問題を〝最適停止の問題〞といいます。

以前、ＮＨＫ　Ｅテレの番組で中高生たちに数学の威力を伝えたいと考え、この最適停止の問題を扱ったことがあります。パチンコや株の売買の話では子どもたちには難しいと考え、彼らが関心を持ちやすいナンパの問題にしようと思いました。すなわち、「道ですれ違う異性をナンパする時、どのような戦略に従うと自分の好みの異性をハントできるか？」。

しかし、番組ディレクターからナンパは教育的に好ましくないと却下されてしまいました。それでは、お見合いの問題にしたらどうかと考えたのですが、現代の子どもたちはお見合いをよく知らないのではないかとこれも却下されてしまいました。結局、番組では「回転寿司の問題」になりました。

今回は会社で実際に役立つ「面接の問題」として解説しましょう。

ある会社で社員１人を募集することになりました。20人の応募者があったので、1日に１人ずつ20日にわたって面接試験を行うことにしました。なるべく点数の高い人を採用したいとします。20人全員を面接した後に最高点の１人を採用するのが、もちろんベストです。しかし、お互いの時間節約のため、面接直後に採否を相手に伝えなければなりません。採用する人が決まった時点で会社は面接試験を打ち切ります。そのため、採用の戦略を上手に立てなければなりません。

例えば、最初に面接に来た85点の人を採用してしまったら、実は後から面接予定の人の中に90点以上の人が続出なんていうこともあり得ます。逆に、面接日が後のほうで面接に来る人の中に良い点数の人がいるだろうと期待し、初めのほうで面接した人を次々断ってしまったら、応募者の点数がだんだん低くなり、初めのほうの人を採用しておけばよかった、なんてこともあります。

面接試験の採用戦略

このような面接試験を行う場合、20人の中から1人選ぶ場合に最適な方法を、確率を駆使し、コンピュータで求めることができます。

（１）最初の５人は点数を付けるだけで採用しない。

（２）６〜10番目にやって来た応募者については、そこまでの中で最高点の人ならば採用する。

（３）11、12、13番目にやってきた応募者については、そこまでの中で２位以内ならば採用する。

（４）14、15番目にやって来た応募者については、そこまでの中で３位以内ならば採用する。

（５）16番目の応募者は、そこまでの中で４位以内ならば採用する。

（６）17番目の応募者は、そこまでの中で５位以内ならば採用する。

（７）18番目の応募者は、そこまでの中で７位以内ならば採用する。

（８）19番目の応募者は、そこまでの中で10位以内ならば採用する。

（９）とうとう最後の応募者になってしまったら、その人が何点でもその人を採用する。

この戦略に従って応募者を採用すると、平均は3.00173となり、平均してほぼ3位以内の応募者を採用することができます。応募者が20人でなく、何百人になっても、同様な戦略をコンピュータで作成することができます。その戦略に従って採用すれば平均4位以内の応募者を採用できるのです。

さて、前述の戦略に従って採用するとした時、20人中の何位の人が選べるかを、あなたも試してみてはいかがですか？ まず、ランダムに20個の数を選び、それらを選んだ順に並べて書いてください。例えば、

45、75、28、-5、85、25、74、-28、62、62 34、24、45、11、32、27、76、7、13、120

（注）100点満点でなくても可、負の数があってもよい。

この場合は、上の戦略に従うと、17番目の応募者（76点）で、20人中3位の人が選ばれることになります。

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女王を喜ばせたパズル

1905年5月、英王立協会の会合に招かれたイギリスの数学者であるデュードニー（1857〜1930）は、ビクトリア女王を前に「仕立屋さんのパズル」を披露しました。正三角形を四つの断片に切り分け、それらを並べ替えて正方形を作れという問題です。彼は、マホガニーの正三角形を図1左のように四つの断片に切り分け、それらを真鍮しんちゅうのちょうつがいで鎖状につないだ模型を使って（図1中）、鎖の上端を固定し、他端を時計回りに回転させると正三角形（図1左）になり、反時計回りに回転させると正方形になる（図1右）様子を実演し、女王を大いに喜ばせたそうです。

図１

このように、図形Pをいくつかの断片に切り分けて鎖状につないだ断片の端の一つを固定し、他端を左右に回転すると、図形Pまたは図形Qを得る時、PとQを変身ペアと呼ぶことにします。

長らく、正三角形Pを正方形Qに変身させる切断の仕方を見つけるために有力とされてきたのが、Pのあるタイル張りとQのあるタイル張りをうまく重ね合わせて（図2a、2b）、どのPもQのタイル張りの境界によって分割される形状が同じになるような位置を探し出し（図2c）、PをQの境界に沿って切る（図2c）という方法でした。適正重ね合わせ法と呼ばれるこの方法で、今までにいくつもの変身ペアが見つけられています。

図２

変身ペアを無数に作る方法

適正重ね合わせ法よりも、簡単に、変身ペアを作る簡単な方法があるので紹介しましょう。

⑴封が閉じている封筒を１枚用意してください。

⑵封筒には、おもて面とうら面の２面があります（図３）。

図３

⑶封筒の４隅をA、B、C、Dとします。封筒のおもて面の４点A、B、C、Dに対し、図４の青線のように、どの点からどの点へも線をたどっていける経路（切断線）を描きます。

図４

⑷次に、封筒のうら面の４点A、B、C、Dに対し、図５の赤線のように、切断線を描きます。赤線に沿って、うら面だけを切り開くとエビが現れます（図8）。

図８

⑸封筒の両面それぞれに青、赤の切断線が描けました。そこで、封筒をまず、青線だけに沿って、おもて面だけを切り開いてみましょう。すると、魚が現れます（図６）。

図６

⑹次に、魚を赤線に沿って４つの断片①〜④に切り分け、各点A、B、Cを共有する二つの断片のペア（①と②、②と③、③と④）をちょうつがいでつなぎ、断片の鎖を作ります（図７）。

図７

⑺この鎖の上端を固定して反時計周りに回転すると魚が現れ（図6）、時計回りに回転するとエビが現れます（図８）。

⑻経路の赤線・青線の形状を変えれば、封筒から無数の変身ペアが作れます。

切り方を変えると、図９の鷹と鳩の変身ペアが作れます。鷹は、アメリカの政治家であるトーマス・ジェファーソンの発言以来、戦争の象徴とされ、鳩は平和の象徴です。鷹から鳩へ（戦争から平和へ）、願ってやまないこの頃です。

図９

平和を象徴する鳩

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忘れ去られた約束

グラフ理論の大家、フランク・ハラリー先生の指導を受けるため、私は1970年代にアメリカに留学していました。先生はM・C・エッシャーの版画の熱心な収集家でもありました。ある時、ニューヨークでの学会にお供した際、連れていかれた画廊で「エッシャーは最近亡くなったので、彼の作品はこれから高くなるよ」と作品の購入を勧められましたが、金欠留学生の私には1枚の絵も買えませんでした。先生は数十枚買って、私にホテルまで運ばせました。「大学に戻ったらお前にも1枚あげよう」と言ってくれた約束はすっかり忘れられ、2005年に先生は他界されました。「いつの日かエッシャーに負けない作品を自分でも創作できるようになればいいなぁ」と心ひそかに思っていました。

エッシャーの初期の作品は、爬虫はちゅう類、鳥、魚、動物などの繰り返し模様（タイル張り模様）が主題です。エッシャーは新婚旅行で訪れたグラナダのアルハンブラ宮殿の壁、天井、床などに張り巡らされたタイル張り模様に感激したそうです。グラナダはイスラムの文化に影響を受けた地であり、イスラム教は偶像崇拝を禁じているため、アラベスクなどの装飾模様に特化した芸術が発展したのです。

スペイン・グラナダにあるアルハンブラ宮殿内、ナスル宮殿にあるカラフルなモザイクタイル

タイル張り模様の作り方（引っ込めたら、出っ張らせる）

エッシャーの方法で、オウムのタイル張り模様を作ってみましょう。

（1）まず、タイル張りできる簡単な多角形Pを選ぶ（図1a）。

図１a

（2）多角形Pをタイル張り性が失われないように、すなわち、Pをタイル張りする時、隣接し合う2本の辺のペアに関して〝一方を引っ込めたら、もう一方を出っ張らせる〞という操作を繰り返しながらデフォルメして、面白いモチーフをデザインする（図1b）。

図１b

（3）そのモチーフに色を付け、オウムのタイル張りをすれば、完成（図1c）！

図１c

タイル張り性を保持しながらデフォルメしていく工程は、やってみると、結構大変なものです。実は最近、もっと簡単な方法を見つけたので、紹介しましょう。

封筒は万能タイル製造器

封筒を1枚用意してください。数学的に言うと、封筒は長方形二面体です。

封筒には宛名を書く表面（図2a）と差出人名を書く裏面（図2b）があります。まず表面または裏面に自由に切り取り線を描きます。この時、切り取り線は閉路（ぐるっと回って元の地点に戻ってくる輪状の部分）を含まず、封筒の４隅に到達するように描いてください。描いた線に沿って封筒を切って、図2dのように封筒を1枚のつながった形に切り開きます。ここでは鷹ができました。封筒を切る時、表面と裏面を重ねて切らないで、片面ずつ切ってください。

図２a

図２b

図２c

図２d

図２e．鷹によるタイル張り

封筒への切り取り線の描き方は自由なので、何も考えなくても無数に多くの異なる形のタイルをデザインできるというわけです。近くにある封筒を自由に切り開いて、あなた好みのタイルを作ってみてください。

自由に切って開いた形がタイルになるものはタイル製造器と呼ばれ、封筒（長方形二面体）のほかに正四面体などがあります。

例えば、図3は正四面体から作った〝松と寿〞のタイル張りをする図形です。

図３

皆さんもぜひ、封筒を切ってエッシャーに負けない作品を創作してください。

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